四元素
四元数[1][2][3][4]
引入四元素
- 假设有两个复数：
$\begin{cases}A=a+bi\\C=c+di\end{cases}$，在引入一个虚部j，定义：$Q=A+Cj$，并定义：$k=ij$，可得：$Q=a+bi+cj+dk\in\mathbb{H}$ - 另一种表示，复数
$z=a_bi$表示复平面内一个点，坐标为$(a,b)$，四元数也可以表示为$Q=a+bi+cj+dk\Longleftrightarrow q_w+q_v$- 其中，
$q_w$为实部，$q_v=q_xi+q_yj+q_zk=(q_x,q_y,q_z)$为虚部
- 其中，
- 将四元数Q记作四维空间向量q，则可以写为：
$q=\begin{bmatrix}q_w\\q_v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_w\\q_x\\q_y\\q_z\end{bmatrix}$
虚部的运算
$i^2=j^2=k^2=ijk=-1\\ij=-ji=k\\jk=-kj=i\\ki=-ik=j$- 实数，虚数，复数本质都是四元数：
$\\a\in\mathbb{H}\\bi\in\mathbb{I}\in\mathbb{H}\\a+bi\in\mathbb{Z}\in\mathbb{H}$
纯虚四元数
$Q=bi+cj+dk\in\mathbb{H}_p\subset\mathbb{H}$
性质
| 运算 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 加法 | $p\pm q=\begin{bmatrix}p_w\\p_v\end{bmatrix}\pm\begin{bmatrix}q_w\\q_v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_w\pm q_w\\p_v\pm q_v\end{bmatrix}$ |
交换律:$p+q=q+p$结合律： $p+(q+r)=(p+q)+r$ |
| 乘积 | $p\otimes q=(q_w+q_xi+q_yj+q_zk)\otimes(p_w+p_xi+p_yj+p_zk)\\=\begin{bmatrix}p_wq_w-p_xq_x-p_yq_y-p_zq_z\\p_wq_x+p_xq_w+p_yq_z-p_zq_y\\p_wq_y-p_xq_z+p_yq_w+p_zq_x\\p_wq_z+p_xq_y-p_yq_x+p_zq_w\\\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}p_wq_w-p_v^Tq_v\\p_wq_v+q_wp_v+p_v\times q_v\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}p_w&-p_x&-p_y&-p_z\\p_x&p_w&-p_z&p_y\\p_y&p_z&p_w&-p_x\\p_z&-p_y&p_x&p_w\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_w\\q_x\\q_y\\q_z\end{bmatrix}\\=p_Lq\\=\begin{bmatrix}q_w&-q_x&-q_y&-q_z\\q_x&q_w&q_z&-q_y\\q_y&-q_z&q_w&q_x\\q_z&q_y&-q_x&q_w\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_w\\p_x\\p_y\\p_z\end{bmatrix}\\=q_Rp$ |
不满足交换律$q\otimes p=\neq p\otimes q$结合律： $(q\otimes p)\otimes r=q\otimes (p\otimes r)$分配率： $q\otimes (p+r)=q\otimes p+q\otimes r$$p_Rq_L=q_Lp_R$ |
| 共轭 | $q^*=q_w-q_v=\begin{bmatrix}q_w\\-q_v\end{bmatrix}\\q^*\otimes q=q\otimes q^*=\begin{bmatrix}q_w^2+q_x^2+q_y^2+q_z^2\\0_v\end{bmatrix}\\(p\otimes q)^*=q^*\otimes p^*$ |
|
| 模 | $\|q\|=\sqrt{q\otimes q^*}=\sqrt{q^*\otimes q}=\sqrt{q_w^2+q_x^2+q_y^2+q_z^2}$ |
|
| 逆 | $q^{-1}\otimes q=1\\q^{-1}=\frac{q^*}{\|q\|^2}$ |
单位四元数
- 模长为1的四元数
$\|q\|=1$，这样限制其刚好三个自由度，用于三维空间的旋转。任意单位四元素总可以表达成下面的形式：$\\q=\begin{bmatrix}\cos{\theta}\\u\sin{\theta}\end{bmatrix}$- 其中：
$u=u_xi+u_yj+u_zk$是单位矢量，$\theta$是标量 - 由于是单位四元数：
$q^{-1}=\frac{q^*}{\|q\|^2}=q^{*}$
- 其中：
三维空间的旋转的表达：
- 欧拉角：Yaw, Pitch, Roll，共三个自由度；
- 旋转矩阵：虽然这是个3维方阵，貌似有9个自由度，但它本身也受到正交性等限制。它也只有三个自由度；
- 旋转向量：旋转方向向量只有两个自由度，外加一个旋转角度，所以，它也肯定是三个自由度；
- 单位四元数：当一个四元数被限制为单位四元数时，它也只剩下了三个自由度，我们可以用它来表达旋转。
单位纯虚四元数
- 四元数
$q=[0,u_x,u_y,u_z]^T\in\mathbb{H}_p$，$\|q\|=1$，可得：$q\otimes q=-1$